前回の動画「三角形に内接する円の半径を求める」で使用したテクニックを空間図形・立体に応用した例を紹介します。
正四面体に内接する球の半径を求める問題です。今回は正四面体ですが他の形でも利用できます。
正四面体を４分割して考える
１辺の長さが６cmの正四面体ABCDに関する問題で点Gは△BCDの重心です。（下図参照）
内接球Oの半径を求めよというもの。
当たり前のことですが立体を切断したものの体積の和は元々の立体の体積と変わらない・一致するという考えを元に球の半径を導きます。
では、どう分割するのか。まず１つ目は三角錐O-BCDで分割します。
以下、同様に三角錐O-ACD、三角錐O-ABD、三角錐O-ABCで分割します。四つの三角錐は同一形状で体積も等しい三角錐となります。
三角錐O-BCDの底面を△BCDとした場合、立体の高さが内接球の半径と同じになります。
三角錐O-BCDの体積を内接球の半径を使って表し、それを４倍したものが正四面体AｰBCDの体積と等しくなります。
仙台育英高校 過去問 解説動画
正四面体の内接球の求め方は何種かあります。今回の問題の面AFDで立体を切り、その切断面を利用して解く方法が一般的かもしれませんが、今回はあえて立体を四分割し体積を利用して解く方法を紹介します。
切断面を利用した解き方は後日投稿しようと思います。前回の動画「三角形に内接する円の半径」が今回の考え方の大本になっていますので、そちらの投稿も是非ご覧ください。
今回の問題は2012年の入試問題過去問です。
仙台育英高校（宮城県仙台市）
https://www.sendaiikuei.ed.jp/hs/
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