三角形の面積比 正答率０％

宮城県の近隣、秋田県の公立高校の入試問題。２つの三角形の面積比を求める問題

有効な相似な図形が見つからないそんな時は補助線を引こう
1. 公立高校入試問題　過去問解説

有効な相似な図形が見つからないそんな時は補助線を引こう

この問題、ぱっと見ヒントが少なすぎる感じがします。
面積比を求めるわけですから実際にそれぞれの面積を算出し比較する案と辺の比を求めて面積比を導き出す案が考えられる。
今回の問題は与えられている数字が２か所線分の比のみが与えられているので後者の案を利用して解いていこうと思う。
与えられている線分の比は比べたい三角形の対応する辺の比ではないので大変だ。受験者の正答率0.0％だったというのもうなずける。
但し、この正答率は他の問題も解いて限られた時間内に解く入試問題であることを考えるとしかたのないところだろう。この問題はラスボスでここに到達するまで時間を費やしこの問題を解くのに残された時間はせいぜい10分程度だっただろう。
受験生の中には充分解くだけの実力を持った生徒もいたと思う。20分程度時間を与えれば正答した者も何人かはいたと思う。

公立高校入試問題　過去問解説

今回の問題は線分の比の３と８のみが長さに関するヒントなので、比である両方の数字を長さと考えて解いていって問題ないだろう。それぞれを３cm、８cmというイメージで解いていきましょう。

△ABCと△ADBは相似な三角形で、その相似比は６：８よりAC＝９/２となり、このことからCD＝７/２と解る。
さあ次に紹介するところが、この問題の肝。補助線です。
辺の比、１つは既にAB：OBの２：１と知っているわけですので、もう１辺どこか長さの比を知りたい。
理想は△CDEと相似な図形があればよいわけですので、点Oから線分CDに垂線を下して相似な図形を作りましょう。（交わった点をFとします）