東北学院高校 入試問題 2022年 B日程 数学 第四問

１辺の長さが12cmの正方形のABCDの辺AB上に，AE=５cmとなる点Eをとります。
∠CDEの二等分線をひき，辺BCとの交点をFとします。辺BCを延長した直線上にAE=CGとなる点Gをとり，線分GEと線分DFの交点をHとします。
また，直線GEと直線ADの交点をIとします。
あとの1～4の問いに答えなさい。
1　△AIE∽△BGEを証明しなさい。
2　線分DEの長さを求めなさい。
3　線分FGの長さを求めなさい。
4　線分DHと線分FHの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

東北学院高校 入試問題 2022年 B日程 数学 第四問

線分の長さを算出する方法はいくつもあるから難しい

いかにも手強そうな平面図形の問題です。
今回の問題、１と２は相似な図形と三平方の定理の基本的な問題です。

１、２と順調に解けたので次も・・・と思ったのですが線分の長さを求める問題の３はちょっと苦戦しました。
線分の長さを求めるのは分割して部分的な長さを求めてその和で導いたり、合同や相似を用いて求める方法があり、さらにはピタゴラスの定理を利用する手段も考えられます。
しかし今回使ったスキルは前述したものではなく二等辺三角形の性質を使うものでした。その手があったかという感じでした。

受験生の皆さんは解けるかなぁ？解けた方も解けなかった方も次の解説動画をご覧ください。